外表面

外表面为使用离散外微分学（DEC）数学框架对偏微分方程进行离散化提供构建块。这些构建块包括稀疏矩阵算子（外导数、霍奇星）和与任何维度的单纯形网格相关的矢量运算符（协链）。努力提供尽可能多的编译时检查和类型推断机会，以产生简洁且正确的代码。

此外，外表面在可选的visuals模块中提供了一些用于实时可视化的工具，与wgpu一起使用。

当前状态

这个库正在为作者的博士研究而构建，因此首先考虑的是它们的使用案例。主库已经在开发中取得了相当大的进展，实现了与偏微分方程相关的PyDEC的大部分功能，但尚未在许多情况下进行测试。还有一些已知的问题尚未解决。可视化crate目前相当有限，仅支持少数2D用例，但已考虑到最终扩展到3D的可能性。

示例

为了让您了解基本功能，以下代码实现了一个简单的声波模拟

use dexterior as dex;

// type aliases for simulation variables ease readability
type Pressure = dex::Cochain<0, dex::Primal>;
type Velocity = dex::Cochain<1, dex::Primal>;

// meshes can be loaded from files generated with `gmsh`
let msh_bytes = include_bytes!("./examples/meshes/2d_square_pi_x_pi.msh");
let mesh = dex::gmsh::load_trimesh_2d(msh_bytes).expect("Failed to load mesh");

let dt = 0.1;
// generic operator expressed with its input and output type.
// type inference figures out which dimensions of `star` and `d` we need
// to make this expression match the type
let p_step: dex::Op<Velocity, Pressure> =
    -dt * mesh.star() * mesh.d() * mesh.star();
// type inference also knows which `d` we mean here
// because we multiply `p` by this operator later
let v_step = dt * mesh.d();

// integrate an initial state function into discrete cochains
let mut p: Pressure = mesh.integrate_cochain(|v| {
    f64::sin(3.0 * v[0].x) * f64::sin(2.0 * v[0].y)
});
let mut v: Velocity = mesh.new_zero_cochain();

// step the simulation forward in time
for _step in 0..10 {
    p += &p_step * &v;
    v += &v_step * &p;
}

带有可视化的更完整版本在crates/dexterior/examples/membrane.rs中。如果您运行它，它应该看起来像这样（但为动画）

请注意，这些示例需要visuals功能，该功能默认未启用，因此您需要使用标志来启用它

cargo run --features visuals --example membrane
# or:
cargo run --all-features --example membrane

参考文献和推荐阅读

dexterior 主要受到了 Python 库 PyDEC 的启发，这是我所知的 DEC（离散微分几何）最全面实现。随附的论文 PyDEC: Software and Algorithms for Discretization of Exterior Calculus，由 Hirani 和 Bell （2012）撰写，对开发工作非常有帮助。

需要感谢的更多文章

• Desbrun, M., Hirani, A., Leok, M. & Marsden, J. (2005). 离散外微分几何
• Hirani, A., Kalyanaraman, K. & VanderZee, E. (2012). Delaunay Hodge 星

关于 DEC 基础知识以及本仓库中声学示例的深入解释，请参阅我的硕士论文

• Myyrä, M. (2023). 离散外微分几何和时间谐波声波模拟的精确可控性

针对新手或有复习需求的读者，提供以下额外推荐

• Desbrun, M., Kanso, E. & Tong, Y. (2006). 离散微分形式用于计算建模
• Blair Perot, J. & Zusi, C. (2014). 为科学家和工程师的微分形式
• Crane, K., de Goes, F., Desbrun, M. & Schröder, P. (2013). 使用离散外微分几何进行数字几何处理

许可证

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• Apache License, Version 2.0, (LICENSE-APACHE 或 http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
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