dcc-tiler

基本镶嵌术语

目前支持两种类型的镶嵌，以下将进行解释。

LTile

一个大小为 n 的 LTile 是由 n + 1 个方块组成的L形泰特拉米诺。例如，大小为3的 LTile 是

而大小为5的 LTile 是

TTile

一个大小为 n 的 TTile 是由 2(n + 1) 个方块组成的T形泰特拉米诺。例如，大小为1的 TTile 是

而大小为2的 TTile 是

基本棋盘术语

目前支持三种棋盘： Rectangle，LBoard 和 TBoard。

LBoard 和 TBoard

有两个参数影响L/T棋盘的形状/大小： board_size 和 board_scale。使用这些参数，创建一个大小为 board_size 的瓷砖（无论是L还是T），然后在这个瓷砖中的每个方块都被 board_scale * 2 个方块替换。

例如，大小为4且比例为1的 LBoard 看起来像

而将比例提高到2的结果是

大小为1且比例为1的 TBoard 看起来像

而将比例提高到2的结果是

矩形

有两个参数影响矩形棋盘的形状/大小： board_size（高度）和 width。

例如，大小为3且宽度为5的 Rectangle 看起来像

当 Rectangle 的 board_size = 6 且 width = 4 时，它看起来是这样的

注意：对于 Rectangle，比例参数被忽略。

使用 LTiles 计算 LBoard 的镶嵌数

以下命令计算了 2x2 大小的 LBoard 使用 2x2 大小的 LTile 镶嵌的数量，比例参数为 x

dcc_tiler_cli--count--scale x--board_type LBoard--tile_type LTile2 2

随着 x 的变化，得到以下镶嵌数

这个整数序列（1, 1, 4, 409, ...）不在 OEIS 中。

使用 TTiles 计算 TBoard 的镶嵌数

这里的命令是

dcc_tiler_cli--count--scale x--board_type TBoard--tile_type TTile1 1

练习： 证明如果 x > 1 且 x % 4 != 0，则不存在这样的镶嵌！

随着 x 的变化，得到以下镶嵌数

另一种方法

您可以使用 --scaling 选项代替每次修改比例参数，如下所示

dcc_tiler_cli--scaling--board_type TBoard--tile_type TTile1 1

这将得到以下输出

scale(1), 1 tilings
scale(2), 0 tilings
scale(3), 0 tilings
scale(4), 54 tilings
scale(5), 0 tilings
scale(6), 0 tilings
scale(7), 0 tilings
scale(8), 655302180 tilings
...

计算 LBoard 的 TTiles 镶嵌数

可能的组合很多。一个例子是

dcc_tiler_cli--count--scale4 --board_type LBoard--tile_type TTile3 1

这计算了 54 种镶嵌。以下是一个这样的镶嵌的例子

使用 TTiles 计算矩形镶嵌数

假设我们想要计算使用 1x1 大小的 T-tetronimos 镶嵌 n x n 矩形的数量。这里的命令是

dcc_tiler_cli--count--board_type Rectangle--width n--tile_type TTile n1

这将得到以下输出

这与 C. Merino 在 2008 年发表在 C. Merino, 2008 中的表格相一致。

生成单个镶嵌图像

在计算镶嵌数之后，生成这样的镶嵌图像以供视觉检查通常很有用。从上一节我们知道，有 54 种 3x3 大小、比例为 4 的 LBoard 使用 1x1 大小的 TTile 的镶嵌。要生成这样的镶嵌，我们使用 --single 选项并将输出重定向到 output.svg

dcc_tiler_cli--single--scale4 --board_type LBoard--tile_type TTile3 1 >output.svg

注意： CLI 生成最多 1000 个镶嵌，然后从其中选择一个进行渲染，因此不能保证重复运行此命令会生成所有可能的镶嵌。

生成所有镶嵌图像

除了生成单个图像之外，您还可以使用 --all <filename> 命令生成包含所有镶嵌的 ZIP 文件。例如

dcc_tiler_cli--all tilings.zip--scale4 --board_type LBoard--tile_type TTile3 1

镶嵌图

可以将所有镶嵌数据作为 JSON 表示的图输出。一个 4x8 的矩形板由以下 JSON 对象表示

{ "board" : [ [false, false, false, false], 
              [false, false, false, false], 
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false], ] }

如果我们把一个 1x1 大小的 T-tetronimo 放在板的左上角，我们的新板将是

{ "board" : [ [true,  true,  true,  false], 
              [false, true,  false, false], 
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false],
              [false, false, false, false], ] }

镶嵌图由以下组成

• 一个由板对象（如上所示）组成的数组 nodes_arena，
• 一个形式为的 edges 对象，

{
   "0":  [ 1, 2 ],
   "1" : [ 3 ],
   "2" : [ 4 ],
   "3" : [ 5, 7, 8, 6 ],
}

• 一个形式为的 rev_edges 对象，

{
    "1":  [ 0 ],
    "2" : [ 0 ],
    "3" : [ 1 ],
    "4" : [ 2 ],
    "5" : [ 3 ],
    "6" : [ 3 ],
    "7" : [ 3 ],
    "8" : [ 3 ],
}

• 一个形式为的数组 complete_indices

[ 36 ]

我们图中的节点对应于 node_arena 中的拼图板，因此 nodes_arena 的第一个条目是节点 0，第二个条目是节点 1，依此类推。节点 0 总是空拼图板（没有拼图）。两个节点之间的边 s -> t 表示您可以通过放置拼图从拼图板 s 到拼图板 t。这样的边被记录在两个地方：在 edges 对象中（因此 t 在 edges[s] 中），和在 rev_edges 对象中（因此 s 在 rev_edges[t] 中）。最后，如果可以完成完整的铺装，其节点将存储在 complete_indices 数组中。