tscale_sequence

描述

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我在玩游戏时遇到需求时意外发现了它。我不是数学家。如果您有任何问题，希望您能给我一些建议。

定义一个新的序列，称为t-scale序列。它衡量多个连续因素之间的关系。以下是一个示例。

假设规模t代表年份，a代表某一年出生的人口。从当前的t我们可以推断出a的年龄组。

假设每个年龄组对出生人口的影响是一个固定的系数。例如，32岁的人对下一年出生人口的影响系数为0.1。假设现在有100个32岁的人，那么下一年出生人口将受到影响，增加10人。

通过t-scale序列，我们可以使用影响系数来大致评估去年和下一年出生率之间的关系。

当年份趋于无穷大时（实际上，在几年后就会出现明显的比率，不需要趋于无穷大），去年出生人数和今年出生人数之间将有一个明显的系数比率。

定义

t-scale序列的定义非常简单。根据定义，斐波那契数列和广义斐波那契数列都是t-scale序列的例子。

公式

给定任何序列，每次从上一个元素开始，取长度等于初始序列的元素，求和，并将这个和作为新值。

初始序列可以取任何值。但应注意，后续的新值不能通过计算等于0。

所有beta必须大于或等于0，且至少有一个beta必须大于0。

当beta等于1时，称为标准t尺度数组。

$$\dim a_1,a_2,..,a_n \quad a\in R$$

$$a_t=\sum_{i=1}^n \beta_{i} a_{t-i} \quad t>n,a_t\not ={0}$$ $$\forall i, \ \beta_i \geq 0 \quad \text{and} \quad \exists i, \ \beta_i > 0$$

属性

无论您取什么初始值，当序列长度趋于无穷大时，前一个元素与当前元素之比是一个常数，这个常数仅受beta的影响。

我们可以得到以下定理

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{a_t}{a_{t-1}}= C$$ $$\sum \beta_i > 1 \implies 1 < C < 2$$ $$\sum \beta_i < 1 \implies 0 < C < 1$$ $$\sum \beta_i = 1 \implies C = 1$$

继续推导并令 r=C，得到以下公式

$$\lim_{t \to +\infty} a_t=ra_{t-1} = r^{n} a_{t-n} $$ $$\because \lim_{t \to +\infty} \frac{a_t}{a_{t-1}}= r$$

$$\therefore \lim_{t \to +\infty} \frac{\sum_{i=1}^n \beta_i r^{n-i} a_{t-n}}{r^{n-1} a_{t-n}}=r$$

当beta=1时简化得到

$$当 \quad \beta =1$$ $$r=2-r^{-n}$$

当beta不为1时简化得到

$$\lim_{t \to +\infty} \sum_{i=1}^n \beta_i r^{1-i} a_{t-n}=r$$

这两种简化都可以通过牛顿法求解得到最终答案