灵感

幂集运算符在集合论中很重要。要生成有限集合的幂集，可以使用二进制编码，其中每个位代表一个对象的成员资格。

幂集运算符的一个问题是，它不提供关于集合自同构的信息。

同构可以建模为一个恒等映射的排列。

例如，[0, 1, 2, 3] 与 [3, 2, 1, 0] 是同构的。

由于集合是无序的，因此对于该集合的所有同构，只有一个集合。

当研究等价关系时，需要额外的信息。因此，人们希望有一种更“强大”的生成集合的方法。而不是直接生成集合，人们希望进行一个中间步骤，通过修改中间步骤中的数据来生成集合。

有一种不同的生成集合的方法，这种方法尊重同构

• 从一个恒等映射开始 [0, 1, 2, ..., n-1]
• 一次修改一个位置，例如 [0, 1, 2] => [0, 0, 2] 其中 1 => 0
• 修改可以使用从 0 到 n-1 的任何数字
• 生成的离散组合空间形成一个群元
• 通过后过滤去除冗余成员以形成子集

例如，[0, 0, 0] 变成一个只包含 {0} 的集合。

还会生成同构，例如 [2, 0, 1]，而不仅仅是 [0, 1, 2]。这是因为每个同构都由从恒等映射开始的一些修改序列所覆盖。有时，一次修改会导致比前一步更小的子集，但第二次修改可能会导致比前一步更大的子集的同构。

对于一个n=3，通过修改生成所有列表，从[0, 0, 0]到[2, 2, 2]。因此，忽略这些列表通过修改如何连接，可以简单地枚举从0到n^n的所有数字，并以n为基数进行解释。

这意味着相同的方法构建了子集和同构。对于大小类型理论（Sized Type Theory）来说，子集和同构的组合是值得研究的一个主题，这是一种可以将函数应用于等价关系的类型理论。人们认为，等价关系可以确保部分正常路径的存在，因此不需要函数必须是同构。

例如，[0, 0, 1]的映射与[1, 0, 0]不同，但两者具有相同的集合{0, 1}。当函数映射到较小的集合时，它不能是同构，但在大小类型理论中，可以使用f(a ~= b) == (f(a) ~= f(b))，所以这仍然是有意义的，因为存在某些正常路径f[g_i->n]，其中g_i(a) == g_i(b)和g_n(f(a)) == g_n(f(b))。正常路径是函数的交换正方形。在这种情况下，正方形通过定义是交换的。

这种群论结构的优点之一是，它表示了函数范畴下所有可能的集合变换。与推理函数族相比，研究这种结构更容易，因为在函数族中，集合被重复多次。

结果证明，以恒等映射作为根的可达性树，将节点深度分配为 n 减去与恒等映射对齐的位置。这是有意义的，因为在位置对齐时，在该位置不需要进行修改。从恒等映射到目标所需的修改次数的最小值由可达性树的深度决定。

可达性树中同一节点深度的所有节点具有相同数量的对齐位置。这是因为对齐位置是那些不受修改影响的位置。由于节点深度是 n - 对齐，而 n 是一个常数，因此可以使用 对齐 而不是节点深度。

在排列可达性树时，这相当于从 0 计数到 n^n，具有相同节点深度的节点被分成更小的邻域。

邻域是一些按递增顺序排列的具有相同数量对齐位置的数字。

在计数时，局部邻域的大小始终是 1、n - 1 或 n（猜想）。

这是因为当向上计数时，以下情况是真实的

• 对于每一个 n 循环，至少有一个中断（对齐位置的改变）
• 任何中断都可以合并2个位置，交换1对1，或合并1
• 在 n 循环期间，1对1的交换永远不会发生两次

直观地说，如果最低有效位对齐，那么递增会使其不再对齐。这导致对齐位置数量的变化，除非余数意外地对齐第二低位。当这种情况发生时，即一个对齐位置被另一个对齐位置替换，这被称为“1对1交换”。这在 n 循环期间永远不会发生两次。

尽管这证明了局部邻域不会大于 n，但它并没有证明为什么 1、n - 1 或 n 是唯一的有效解决方案。

恒等映射的顺序被选择以保留这一特性。如果在 3 进制中用 210 代替 012，则会破坏这一特性。这是因为会得到不同的可达性树。