简单：2D PGA！

简单，一个2D PGA库。

如果您不熟悉投影几何代数，请参阅

• https://www.youtube.com/watch?v=0i3ocLhbxJ4
• https://bivector.net/
• https://projectivegeometricalgebra.org/

否则，这个库就是它听起来那样。

这是我第一个发布的Rust crate，所以请多多包涵。如果数学或Rust代码有问题，请告诉我！

使用

使用此库应该相当简单，假设您对投影几何代数有基本的了解。

多矢量

Multivector<N> 是此库中最基本的单元。如果您来自传统的向量数学，可以将其视为一种变换矩阵。

Multivector<N> 结构体包含

• 标量 N
• Vector<N>
• Bivector<N>
• Trivector<N>

注意泛型 'N'。 N 必须实现 Float。这是为了使此库具有通用性。

声明多矢量

可以将所有系数都设置为0的多矢量在一行中初始化

let my_multivector: Multivector<f32> = Multivector::zero();

有时您只想初始化具有单个阶定义的多矢量。可以这样做

// A multivector with only grade-0 coefficients:
let my_scalar = Multivector::from_scalar(scalar_number_here);
// A multivector with only grade-1 coefficients:
let my_vector = Multivector::from_vector(vector_defn_here);
// A multivector with only grade-2 coefficients:
let my_bivector = Multivector::from_bivector(bivector_defn_here);
// A multivector with only grade-3 coefficients:
let my_trivector = Multivector::from_trivector(trivector_defn_here);

另外，Vector、Bivector 和 Trivector 结构体都有一个 to_multivector 函数

let my_vector = Vector{ e0: 1.0, e1: 1.0, e2: 1.0}.to_multivector();
let my_bivector = Bivector{ e01: 1.0, e20: 1.0, e12: 1.0}.to_multivector();
let my_trivctor = Trivector{ e012: 1.0 }.to_multivector();

向量

向量是投影几何代数中一级的几何对象。它由基向量e₀、e₁和e₂构成，其中e₀² == 0。

在2D PGA中，向量表示一条具有方向和大小的直线。

对于直线ax + by + c = 0，相应的向量将是ae1 + be2 + ce0。在代码中，这将看起来像

let example_line: Vector<f32> = Vector {
            e0: number_c,
            e1: number_a,
            e2: number_b
        };

双矢量

双矢量是二级的几何对象。在2D投影几何代数中，它是相交直线的交点。也就是说：双矢量表示一个2D点。

对于一个点(<x, y>)，相应的双矢量将是xe20 + ye01 + 1e12。请注意，基双矢量e₁₂的值为1。在构造2D点时，e₁₂双矢量应该归一化，使得这个系数为1。在代码中，这将看起来像

let example_bivector: Bivector<f32> = Bivector { 
            e01: x, 
            e20: y, 
            e12: 1.0 
        };

e₁₂是投影坐标。当它为'0'时，你将表示一个无穷远点，有时简单地称为'方向'。

结构extras::point2d::Point2d作为一个包装器存在，围绕双矢量，使处理2D欧几里得点更加直观。

三矢量

在2D投影几何代数中，三级k-向量被称为'伪标量'。它有一个单一的系数。包装它可能是不必要的，但我还是这样做了，以保持一致性。

这是一个三矢量的例子

let example_trivector: Trivector<f32> = Trivector { e012: 2.0 }

K-向量结构

诚然，这个库的这一部分最终变得几乎毫无用处。它被当作一个便利特性，但大多数几何对象在操作过程中都会转换为多矢量。尽管如此，它仍然保留，以防有人发现它有趣或有用。

KVector<N>是一个枚举，封装了2D PGA中k-向量的每一个有效级别。

运算符

我已尽量包括所有2D PGA的基本运算符。

• 几何乘积

  几何乘积是几何代数中最基本的运算，因此它自然存在于这里。任何两个k-向量之间的几何乘积将产生一个多矢量作为结果。同样，两个多矢量之间的几何乘积也可以计算。

  请注意，大多数k-向量的几何乘积首先转换为多矢量，然后计算两个多矢量之间的几何乘积。对于某些常见的几何乘积（如两个向量之间的乘积），可能需要硬编码以进行未来的优化。

  let mv1 = Multivector { ... };
  let mv2 = Multivector { ... };
  let product1 = mv1.geo(&mv2);
  let product2 = mv2.geo(&mv1);
  assert_ne!(product1, product2); // Should pass!
  

• 级数投影

  多矢量上的级数投影只是输出与特定级别相关联的多矢量的分量。例如，对多矢量执行级别'1'的级数投影将给出其矢量分量。

  这被实现为多矢量结构的一个成员函数，但结果发现这并不必要，因为你可以从多矢量中手动提取你想要的分量。该函数仍然保留。

  let example_multivector = Multivector { ... };
  
  // This syntax exists.
  let vector_component = example_multivector.grade_proj(1)
      .to_vector().unwrap();
  
  // But it's really easier to just do this.
  let vector_component = example_multivector.vector;
  

• 外积

  也称为'交点'，因为它可以用来构建两条线的交点（这将是一个点）。两个k-向量 'A' 和 'B' 的外积：A ^ B = C，其中'A'的级别为'i'，'B'的级别为'j'，将产生一个级别为'i+j'的'C'。它只是几何乘积后跟一个级数投影。

  如果认为有必要，可以硬编码常用的一些外积，这可能是未来优化的潜在来源。

  let v1 = Vector { ... };
  let v2 = Vector { ... };
  
  let resulting_bivector = v1.wedge(&v2);
  

• 回归产品

  两个点的“连接”将是一条直线。这种关系被回归产品精确地捕捉到。回归产品已经手动应用于两个双矢量。

  注意：我尚未验证回归产品的正确性！

  let bv1 = Bivector { ... };
  let bv2 = Bivector { ... };
  
  let joining_line = bv1.regressive(&bv2);
  

• 内积，左右收缩

  内积当然是点积！左右收缩也存在，以防万一有人需要。

  内积是两个k向量的几何积，级数投影以获取|i-j|分量。实际上，这几乎总是标量分量。

  这个操作符可能需要在未来的特定用例中进行优化。

  let v1 = Vector { ... };
  let v2 = Vector { ... };
  
  let dot_product = v1.inner(&v2);
  

• 反向

  通常用“箭头”符号表示，反向操作符在理论上会反转多向量的每个元素的基础分量顺序。在实践中，这会每两个级数翻转一次符号。

  let example_multivector = Multivector { ... };
  let example_reversed = example_multivector.reverse();
  

• 级数反演

  与反向不同，级数反演会每级翻转一次符号。同样，它可以通过简单的调用执行。

  let example_multivector = Multivector { ... };
  let example_involuted = example_multivector.grade_involution();
  

• 模平方

  向量和双矢量的模平方已实现。

  let v1: Vector<f32> = Vector { ... };
  let v1_norm: f32 = v1.magnitude_sqr()
     .sqrt(); // Take the sqrt if you want the magnitude.
  

• 归一化

  向量和双矢量的归一化已实现。

  let v1: Vector<f32> = Vector { ... };
  // Note: This will always perform a square root operation.  Norms are not cached by simply_2dpga.
  let v1_normalized = v1.normalized();