rbf-interp

此包包含径向基函数多维插值的实现。有关该主题的优秀介绍，请参阅SIGGRAPH 2014 课程笔记。

输入是一组数据点，每个数据点在某个多维空间中有坐标和一个值，这些值也作为向量提供。例如，对于下面的彩色场图像，坐标是二维的，值是一个3向量，分别代表红色、绿色和蓝色。结果是可以在任何坐标处评估的 Scatter 结构。其思想是值随坐标平滑变化，但在每个提供的数据点上都与输入值相同。

多维插值有多种方法，但本包的重点是径向基函数家族。这些包括多项式样条（薄板样条是其中之一）、高斯径向基函数以及其他（多二次型和逆多二次型）。高斯和多二次型变体还具有可调整的大小参数。

此外，还有一个“阶数”参数，用于控制低阶多项式项。阶数为0表示没有额外项，只有基函数。阶数为1表示常数项，阶数为2表示线性项。使用这些额外项，可以得到输入的“最佳拟合”常数或线性近似，并且基函数是分层的。（对于更精确的描述，请参阅 SIGGRAPH 笔记的3.1节）。请注意，二次和更高阶的多项式也是有意义的，但目前尚未实现。

以下图形使用高斯基函数制作，故意使用过小的大小参数（0.05），以更清楚地显示多项式项的影响

使用合理的值（1.0），结果非常准确

以下是与其他两种基函数（薄板和三谐波）的比较

请注意，插值效果很好，但外推（这些图中的1.8到2.0区域）较弱。

彩色场结果

本库的主要动机是为可变字体计算更平滑的插值。这个领域的早期工作是MutatorMath，它使用双线性插值来完成这项任务。项目页面有一个“色彩场”来展示他们的插值技术，该技术在二维坐标系中的每个点放置一个(r, g, b)颜色。请注意，对于字体通常输出是一个二维坐标，输入是任意数量的变化轴（可能是重量和宽度最为常见），但色彩场是可视化插值方案行为的一个好方法。

以下是从MutatorMath（缩小后）的图片和半径为4.5的Gaussian bump和薄板样条的结果。

半径调整参数对结果有相当大的影响。这在多维插值的多项应用领域是一个缺点，但也许对于可变字体来说是一个好事，因为它可以在平滑度（可能伴有超调）和局部控制之间提供选择。鼓励好奇的人尝试在examples目录中的mutator示例。

要从Unix shell运行示例

cargo run --example mutator > image.ppm

其他资源

以下文章很有趣

• 基于径向基函数（RBFs）的数据插值

• 径向基函数实用指南

• 径向基函数插值（Wilma du Toit 硕士论文）

• 简单的Julia实现

• darktable中的薄板样条

感谢Jacob Rus的讨论和资源，以及LGM 2019提供了激发这些想法的环境。