矩阵乘法

二阶二元乘法

设矩阵 $A, B$ 为

$$ A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \ \end{bmatrix}\quad B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \ \end{bmatrix} $$

则待解得方程为 $A \cdot B = 10 A + B$

其中 $B$ 的参数都是个位数，$A$ 可以是任意自然数，但 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 不能同时为 $0$.

如果 $A$ 是零矩阵那 $B$ 也只能是零矩阵，方程就退化了无意义.

正好有 100 个解最高一位数，352 个解最高两位数，6 个解最高三位数，共计 458 个解.

其中最小的值是 36，最大的值是 1018.

$$ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 6 & 8 \ \end{bmatrix} $$

\begin{bmatrix} 28 & 24 \\ 36 & 28 \ \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 101 & 70 \\ 30 & 21 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 3 & 0 \ \end{bmatrix} $$

\begin{bmatrix} 1018 & 707 \\ 303 & 210 \ \end{bmatrix} $$

高阶二元乘法

在上述解中我们发现了一个特殊的解.

$$ \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 6 & 6 \ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 36 & 36 \\ 36 & 36 \ \end{bmatrix} $$

那么，对于更高阶的矩阵，这样的解还存在吗?

设 $r$ 阶矩阵 $A_r, B_r$ 为

$$ A_r = \begin{bmatrix} a & \cdots & a \ \\ \vdots & \ddots & \vdots \ \\ a & \cdots & a \ \end{bmatrix}\quad B_r = \begin{bmatrix} b & \cdots & b \ \\ \vdots & \ddots & \vdots \ \\ b & \cdots & b \ \end{bmatrix} $$

易知

$$ A_r \cdot B_r = \begin{bmatrix} a b r & \cdots & a b r \ \\ \vdots & \ddots & \vdots \ \\ a b r & \cdots & a b r \ \end{bmatrix} $$

所以我们只要解方程 $n a b = 10 a + b$ 即可

我们可以解得如下五个解

$$ \begin{array}{rrr} n & a & b \ \\ \hline\ 2 & 3 & 5 \ 3 & 1 & 5 \ 3 & 2 & 4 \ 6 & 1 & 2 \ 11 & 1 & 1 \ \end{array} $$

所以这样的矩阵只在 $2, 3, 6, 11$ 阶时存在.

高阶多元乘法

更一般的，对于 $n$ 个 $r$ 阶矩阵相乘的情形，用 $x_i$ 表示矩阵元素，则有

$$r^{n - 1}\prod_{i=1}^{n}x_i = \sum_{i=1}^{n}10^{n-i}x_i$$