目录

1. 有限域
2. 与其他库相比，它有什么不同之处？
   1. 优点
   2. 缺点
3. 用法
4. 示例
   1. 素域
   2. 伽罗瓦域
   3. F_p 上的多项式
   4. GF(pⁿ) 上的多项式
   5. 有限域上的矩阵

有限域

一个 Rust 库，用于有限域上的运算，包括

• F_p 元素的和、差、积和商
• GF(pⁿ) 元素的和、差、积和商
• 获取本原多项式
• F_p 上多项式的和、差、积、商和余数
• GF(pⁿ) 上多项式的和、差、积、商和余数
• F_p 矩阵的和、积
• GF(pⁿ) 矩阵的和、积
• 有限域（F_p、GF(pⁿ)）上的矩阵的扫除法（或高斯消元法）也是可用的。

与其他库相比，它有什么不同之处？

优点

• 可以用 F_p、GF(pⁿ) 对任何素数和任何乘数进行计算，不仅限于字符 2。
• 可以自由计算六种类型的元素：素域、伽罗瓦域、素域多项式、伽罗瓦域多项式、素域矩阵和伽罗瓦域矩阵。
• 每个都可以使用 +-*/ 进行计算，因此您可以编写自然代码。
• 有限域（F_p、GF(pⁿ)）上的矩阵运算也可以执行。
• 扫除法是可用的。

缺点

• 与其他库相比，它可能需要更长的时间，因为它没有针对每个字符进行优化。

用法

将以下内容添加到您的 Cargo.toml 中

[dependencies]
galois_field = "0.1.11"

示例

素域

use galois_field::*;

let char: u32 = 5;
let x:FiniteField = FiniteField{
	char: char,
	element:Element::PrimeField{element:0} // 0 in F_5
};
let y:FiniteField = FiniteField{
	char: char,
	element:Element::PrimeField{element:1} // 1 in F_5
};
println!("x + y = {:?}", (x.clone() + y.clone()).element); // ->1
println!("x - y = {:?}", (x.clone() - y.clone()).element); // -> 4
println!("x * y = {:?}", (x.clone() * y.clone()).element); // -> 0
println!("x / y = {:?}", (x.clone() / y.clone()).element); // -> 0

伽罗瓦域

use galois_field::*;

fn main(){
	// consider GF(2^4)
	let char: u32 = 2;
	let n = 4;
	let primitive_polynomial = Polynomial::get_primitive_polynomial(char, n);
	let x:FiniteField = FiniteField{
 		char: char,
 		element:Element::GaloisField{element:vec![0,1],primitive_polynomial:primitive_polynomial.clone()} // i.e. [0,1] = x -> 2 over GF(2^4)
	};
	let y:FiniteField = FiniteField{
 		char: char,
 		element:Element::GaloisField{element:vec![0,0,1,1],primitive_polynomial:primitive_polynomial.clone()} // i.e. [0,0,1,1] = x^3 + x^2 -> 12 over GF(2^4)
	};
	println!("x + y = {:?}", (x.clone() + y.clone()).element);
	println!("x - y = {:?}", (x.clone() - y.clone()).element);
	println!("x * y = {:?}", (x.clone() * y.clone()).element);
	println!("x / y = {:?}", (x.clone() / y.clone()).element);

}

F_p 上的多项式

use galois_field::*;

fn main() {
	// character
    let char: u32 = 2;

	let element0:FiniteField = FiniteField{
		char: char,
		element:Element::PrimeField{element:0} // 0 in F_5
	};
	let element1:FiniteField = FiniteField{
		char: char,
		element:Element::PrimeField{element:1} // 1 in F_5
	};


	let f: Polynomial = Polynomial {
        coef: vec![element1.clone(),element0.clone(),element0.clone(),element0.clone(),element1.clone()]
	};
    let g: Polynomial = Polynomial {
		coef: vec![element1.clone(),element0.clone(),element0.clone(),element1.clone(),element1.clone()]
    };
    println!("f + g = {:?}", (f.clone()+g.clone()).coef);
	println!("f - g = {:?}", (f.clone()-g.clone()).coef);
	println!("f * g = {:?}", (f.clone()*g.clone()).coef);
	println!("f / g = {:?}", (f.clone()/g.clone()).coef);
	println!("f % g = {:?}", (f.clone()%g.clone()).coef);
	
}

GF(pⁿ) 上的多项式

与上面相同

有限域上的矩阵

use galois_field::*;

let char = 3;
let element0: FiniteField = FiniteField {
    char: char,
    element: Element::PrimeField { element: 0 },
};
let element1: FiniteField = FiniteField {
    char: char,
    element: Element::PrimeField { element: 1 },
};
let element2: FiniteField = FiniteField {
    char: char,
    element: Element::PrimeField { element: 2 },
};


let mut matrix_element:Vec<Vec<FiniteField>> = vec![
    vec![element0.clone(),element1.clone(), element0.clone()],
    vec![element2.clone(),element2.clone(), element1.clone()],
    vec![element1.clone(),element0.clone(), element1.clone()]
];
let mut matrix = Matrix{
    element: matrix_element,
};

println!("m+m = {:?}", m.clone()+m.clone());
println!("m*m = {:?}", m.clone()*m.clone());

let mut sweep_matrix = m.sweep_method();
println!("{:?}", sweep_matrix);