冲击响应积分方法

一个用于模拟动态系统，专注于大型稀疏连接系统的工具。

该方法通过测量系统的冲击响应来实现。如果系统是线性和时不变的，则冲击响应完全描述了该系统。可以通过将系统的初始状态与冲击响应卷积来计算系统的确切状态。此方法使用这些事实来解决使用有效稀疏矩阵-向量乘法进行初始值积分问题。

文献

Rotter, S., Diesmann, M. 准确数字模拟时不变线性系统及其在神经元建模中的应用。Biol Cybern 81, 381–402 (1999)。 https://doi.org/10.1007/s004220050570

详细信息

用户使用以下两种方式指定他们的系统

• 状态向量，它完全描述了在某一时刻的系统。

• 状态的导数，作为当前状态的一个函数。

假设用户系统是线性和时不变的。

此方法不允许外部输入。相反，用户应直接修改状态以考虑任何输入。

此方法使用冲击响应以固定的时间步长推进系统状态。首先使用Crank-Nicolson方法和可变长度时间步长，以高保真度计算冲击响应。在冲击后的 time_step 处采样响应。测量每个状态的平均响应并将它们存储在矩阵中。然后为了推进积分状态，将矩阵与状态向量相乘。

冲击响应矩阵是一个方阵，因此其大小是状态向量长度的平方。直观上，这可能会对具有非常大的状态向量的系统造成性能问题。然而，在大多数具有非常大的状态向量的系统中：在测量冲击响应的相对较短的时间步长 time_step 中，大多数状态之间没有相互交互。因此，冲击响应大多是零，冲击响应矩阵可以压缩成稀疏矩阵。

冲击响应积分方法运行速度快，但在启动时需要消耗大量时间和内存来计算和存储冲击响应。

示例：测量等效电阻

这个漫画条提出了一个有趣的问题。这个问题确实有一个已知的解析解，4/pi - 1/2，但也可以使用数值方法进行近似。我演示了如何使用脉冲响应库来完成这个任务。

数值解法

• 首先改变电阻网格的大小，从无限网格到一个非常大的网格。否则就无法计算！因为这个改变，所得的近似值将高估真实值。在极限情况下，当网格大小趋近于无限时，这个高估误差趋近于零。

• 在每个网格节点上连接一个电容器。这模拟了所有导线中存在的寄生电容。为了模拟电荷流动，需要在模型中包含电容。

• 在两个标记节点之间连接一个电压源，并测量通过电压源的电流量。然后使用公式计算等效电阻：V = I R。由于系统中包含电容器，电流需要时间才能达到稳态。测量稳态电流意味着需要模拟相当长一段时间。

实现和结果

源代码是使用这个库的一个注释示例。链接：impulse_response/examples/nerd_sniping.rs

32x32网格运行代码的结果

$ time cargo run --example nerd_sniping --release
Model Size: 1024 Nodes
Equivalent Resistance: 0.8825786612296072 Ohms
Exact Answer: 4/PI - 1/2 = 0.7732395447351628 Ohms

现在让我们将网格大小增加到633x633，并观察等效电阻更接近正确值。

$ cargo run --example nerd_sniping --release
Model Size: 400689 Nodes
Equivalent Resistance: 0.8416329950362197 Ohms
Exact Answer: 4/PI - 1/2 = 0.7732395447351628 Ohms

运行时间：2天。

测量误差约为8%。

更多示例

• tests/leaky_cable.rs

• 模拟神经元树突中的电。

• tests/conservation.rs

• 一个人工场景。
• 演示在系统运行时修改系统。